Yaser
Un jugador de hockey está sobre sus patines en un estanque helado cuando un jugador contrario, que se mueve con una velocidad uniforme de 12 m/s, pasa patinando con el disco. Al cabo de 3,0 s, el primer jugador decide perseguir a su adversario. Si acelera uniformemente a 4,0 m/s2 a) ¿cuánto tiempo tarda en alcanzar a su adversario? y b) ¿qué distancia ha recorrido en ese tiempo? (Supón que el jugador con el disco permanece en movimiento a velocidad constante). Paso a paso, por favor. Gracias.
Establece un sistema de referencia con origen de coordenadas en la posición del primer jugador cuando está en reposo, con eje OX con dirección y sentido positivo acordes a los desplazamientos de los jugadores, y con instante inicial: ti = 0 correspondiente al paso del segundo jugador, que suponemos pasó muy cerca de la posición del primero.
Luego, para el primer jugador, planteas la ecuación tiempo-posición de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado, y queda:
x = xi + vi*(t - ti) + (1/2)*a*(t - ti)2,
aquí reemplazas sus datos iniciales: ti = 3 s, xi = 0, vi = 0, a = 4 m/s2, y queda:
x = 0 + 0*(t - 3) + (1/2)*4*(t - 3)2,
a continuación resuelves el coeficiente en el último término, cancelas términos nulos, y queda:
x1 = 2*(t - 3)2 (1).
Luego, para el segundo jugador, planteas la ecuación tiempo-posición de Movimiento Rectilíneo Uniforme, y quda:
x = xi + v*(t - ti),
aquí reemplazas sus datos iniciales: ti = 0, xi = 0, v = 12 m/s, y queda:
x = 0 + 12*(t - 0),
ahora cancelas términos nulos, y queda:
x2 = 12*t (2).
Luego, vamos con las cuestiones que debes responder.
a)
Planteas la condición de encuentro de los jugadores, por lo que igualas las expresiones de sus posiciones señaladas (1) (2), y queda la ecuación:
2*(t - 3)2 = 12*t,
a continuación divides por 2 en ambos miembros, y queda:
(t - 3)2 = 6*t,
aquí desarrollas el binomio elevado al cuadrado, y queda:
t2 - 6*t + 9 = 6*t,
ahora restas 6*t en ambos miembros, y queda:
t2 - 12*t + 9 = 0,
que es una ecuación polinómica cuadrática, por lo que aplicas Fórmula de Baskara (o Fórmula Resolvente), y queda:
t = (12 ± √[(-12)2 - 4*1*9])/(2*1) = (12 ± √[144 - 36])/2 = (12 ± √[108])/2,
y de aquí tienes dos opciones:
1°)
t = (12 - √[108])/2 ≅ (12 - 10,392)/2 ≅ 1,608/2 ≅ 0,804 s,
que no tiene sentido para este problema (observa que en este instante el primer jugador está en reposo),
2°)
t = (12 + √[108])/2 ≅ (12 + 10,392)/2 ≅ 22,392/2 ≅ 11,196 s.
b)
Reemplazas este último valor remarcado en la ecuación señalada (1), y queda:
x1 ≅ 2*(11,196 - 3)2 ≅ 2*8,1962 ≅ 134,349 m.
Espero haberte ayudado.